複素平面の実軸よりも上の部分を上半平面という． 上半平面において，特殊な方法で距離を定義すると， いわゆる平行線の公理が成立しない 非ユークリッド幾何の世界ができあがる． その世界では，実軸に中心を持つ円弧が“直線”の役割を果たす． その直線を 3 本組み合わせれば三角形領域が 1 つ定まるが， その 3 個の頂点（直線の交点）に相当する部分が すべて実軸上に乗っているとき， その三角形領域をイデアル三角形と呼ぶ．

　実は，実軸の部分はこの世界には含まれていない． さらに，この世界の距離に従って長さを測ると， それは無限に遠いところに位置している． つまり，実軸に向かって上半平面の中を歩いていくと， 自分自身がしだいに小さくなってしまい，歩幅もどんどん短くなっていくので， いくら歩いても実軸には到達できないのである． したがって，イデアル三角形の頂点は この世界からはみ出たところにあり， それを構成する 3 本の円弧はこの世界では無限に長い．

　ところで，あなたは円板の中に天使と悪魔が敷き詰められているエッシャーの絵 （図 1）を見たことがあるだろうか？ その絵でも，円板の周辺に近づくと，天使や悪魔がどんどん小さくなっていく． 見様によっては，曼陀羅のようにも見える． 実は，このエッシャーの世界と上半平面と適当な変換式のものとで 対等なものなのである． 曼陀羅からイデアル三角形の図に至る検索過程で， 私はこのエッシャーの絵を見ていたにちがいない．