x 軸を回転軸として， 関数 f(x) のグラフの a ≦ x ≦ b の範囲を回転して得られる曲面と その両端の円板で囲まれている 回転体の体積 V は次の積分を計算することで求められる．

V = π ∫_a^b f(x)² dx

　私はこの公式を次のように理解している． まず，その回転体を回転軸に垂直な平面で切り刻んで， 厚みが Δx の部分に分解する． Δx が十分に小さければ， その各部分は半径が f(x) の円柱だと思うことができる． その円柱の底面積は π f(x)² で， その高さは Δx だから， その体積は π f(x)² Δx である． したがって，求めたい回転体の体積は， そういう円柱の体積を全部足したもので近似できる． V ≒ Σ π f(x)² Δx どういう範囲で総和をとればよいのかが書かれていないから， この式はいい加減なものだが，意味だけわかればよしとしよう．

　 Δx が限りなく 0 に近付いていけば， その近似の精度がどんどん上がっていく． その極限において総和が積分に化けて， 定数の π が前に出れば， 最初の公式ができあがる．

　数学的な厳密性を重んじてしまうと，こんな議論でよいとは思えないが， おおらかな心で積分の公式に対応しよう． そうでないと，力学や電磁気学はやっていけない…．