ある数 a から始めて， それに同じ数 r を掛けていって得られる数列

a, ar, ar², ar³, ar⁴, …

を等比数列という． その n 番目の項は ar^n-1 と表される． 等比数列の第 1 項から第 n 項までを足したもの

Σ_i=1ⁿ ar^i-1 = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1

を等比級数という．

　高校で数学を勉強すると，上の等比級数の値が次の式で表わされることを習う．

Σ_i=1ⁿ ar^i-1 = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

ただし， r ≠ 1 である． r = 1 のときは，その値が na になることは明らかだろう．

　この公式の導き方はいろいろとあるが， 本文で示した方法を応用して導いてみよう． ただし，ここでは a = 1 の場合を考える．

Σ_i=1ⁿ r^i-1 = 1 + r + r² + r³ + … + r^n-1

　一般の場合は， ここで求める公式を単に a 倍するだけである．

　まず，全体に r - 1 を掛けて， 1 を先頭に足しておく． 本文では r = 2 だったので， r - 1 を掛けることは意味がなかった． 「先頭とその次を足す」を繰り返していくと， 次のように計算が進んでいく．

1 + (r-1)・1+(r-1)r+(r-1)r²+ … + (r-1)r^n-1

　= r+(r-1)r+(r-1)r²+ … + (r-1)r^n-1

　= (1+r-1)r+(r-1)r²+ … + (r-1)r^n-1

　= r・r+(r-1)r²+ … + (r-1)r^n-1

　= r²+(r-1)r²+ … + (r-1)r^n-1

　この計算では， いつでも先頭が rⁱ + (r-1) × rⁱ という形をしていて， それをまとめて rⁱ⁺¹ ができあがるという構図が続く． これを r^n-1 が現れるまで繰り返すと， 最後に r^n-1 + (r-1) × r^n-1 から rⁿ が生まれて終了．

　そこで，初めに施しておいた工夫の補正を行おう． つまり，足した分の 1 を引き，掛けた r - 1 で割る． これで，

Σ_i=1ⁿ r^i-1 = (rⁿ - 1)/(r - 1)

が示されたことになる．

　この証明方法はおもしろいが， 技巧的だと感じる読者もいるだろう． しかし， r 進法による数の表し方の原理がわかっていると， それが極めて素直なアイディアであることがわかるはずだ． 例えば， r = 10 のときを考えてみるとよい． 11111 の値を求めるのに， 9 を掛けて 99999 を作り， それに 1 を足す． すると，次々とくり上がり起こって 100000 になる． これをもとに戻すために， 100000 から 1 を引き， 9 で割る．

11111 = (100000 - 1)/9